命題８
もし、単位から始まる任意個の数が連続して比例するならば、単位から第３は平方数で、１つおきにそうであり、第４は立方数で、２つおきにそうであり、第７は同時に立方数で平方数であり、５つおきにそうである。
任意個の数A、B、C、D、E、Fが単位から始まり、連続して比例するとせよ。
単位から第３のBは平方数で、１つおきにそうであり、第４のCは立方数で、２つおきにそうであり、第７のFは同時に立方数で平方数であり、５つおきにそうであると主張する。
単位はAに対して、AはBに対するので、それゆえに、単位は数Aを割り切り、その商はAがBを割り切ったものと同じである。definitionⅦ２０
しかし、単位は数Aを割り切り、その商はAの中の単位である。
それゆえに、AもまたBを割り切り、その商はAの中の単位である。
それゆえに、Aはそれ自身をかけられBを作る。
それゆえに、Bは平方数である。
また、B、C、Dは連続して比例し、Bは平方数なので、それゆえに、Dもまた平方数である。propositionⅧ２２
同じ理由でFもまた平方数である。
同様に、１つおきに全てが平方数であることが証明できる。
次に、単位から第４のCが立方数で、２つおきに全てそうであると主張する。
単位はAに対して、BはCに対するので、それゆえに、単位は数Aを割り切り、その商はBがCを割り切ったものと同じである。
しかし、単位は数Aを割り切り、その商はAの中の単位である。
それゆえに、BもまたCを割り切り、その商はAの中の単位である。
それゆえに、AにBをかけられてCを作る。
Aがそれ自身をかけてBを作り、BをかけられてCを作るので、それゆえに、Cは立方数である。
また、C、D、E、Fは連続して比例し、Cは立方数なので、それゆえに、Fもまた立方数である。propositionⅧ２３
しかし、平方数であることは証明されている。
それゆえに、単位から第７は立方数と平方数の両方である。
同様に、５つおきに全てが立方数と平方数の両方であることが証明できる。
それゆえに、もし、単位から始まる任意個の数が連続して比例するならば、単位から第３は平方数で、１つおきにそうであり、第４は立方数で、２つおきにそうであり、第７は同時に立方数で平方数であり、５つおきにそうである。